Pręt rozciągany: jak obliczyć naprężenie, wydłużenie i zapas
Pręt rozciągany obliczenia zaczyna się od trzech zależności: naprężenie rozciągające wynosi σ = F/A, odkształcenie ε = σ/E, a wydłużenie pręta ΔL = F·L/(A·E). Dla stali S235JR przyjmuje się E = 210 000 MPa, a przy grubości 5–16 mm minimalną granicę plastyczności Re = 235 MPa.
Założenia i dane materiałowe
Najprostszy model dotyczy pręta o stałym przekroju, obciążonego siłą osiową. Oznacza to, że siła F działa wzdłuż osi elementu, a pole przekroju A nie zmienia się na długości L. Przy takich założeniach naprężenie, odkształcenie i wydłużenie można wyznaczyć bez analizy numerycznej.
W przykładzie przyjęto stal S235JR o grubości 5–16 mm. Jej minimalna granica plastyczności wynosi Re ≥ 235 MPa. Dla zakresu grubości 16–40 mm wartość minimalna wynosi już Re ≥ 225 MPa, dlatego właściwy zakres grubości trzeba sprawdzić przed przyjęciem parametrów do obliczeń. Wytrzymałość na rozciąganie Rm dla S235JR o grubości 5–100 mm mieści się w zakresie 360–510 MPa.
Moduł Younga stali konstrukcyjnych przyjmuje się jako E = 210 kN/mm², czyli 210 000 MPa. Wartość ta jest stosowana dla stali konstrukcyjnych niezależnie od gatunku i granicy plastyczności. Podstawę stanowią SCI P185, Guidance Note 3.01 z 2015 roku oraz EN 1993-1-1, natomiast parametry S235JR podaje ArcelorMittal dla EN 10025-2.
Wszystkie jednostki należy ujednolicić. Wygodny zestaw to F w niutonach, A w mm², L w mm oraz E i σ w MPa. Dzięki temu 1 N/mm² = 1 MPa, a wynik wydłużenia otrzymuje się w milimetrach.
Naprężenie rozciągające: σ = F/A
Podstawowy wzór na naprężenie rozciągające w pręcie o stałym przekroju to:
σ = F/A
Jeżeli siła wynosi F = 20 kN, najpierw trzeba zamienić ją na 20 000 N. Dla pola przekroju A = 100 mm² otrzymujemy:
σ = 20 000/100 = 200 MPa
Zmiana pola przekroju bez zmiany siły wpływa odwrotnie proporcjonalnie na naprężenie. Dwukrotne zwiększenie A ze 100 do 200 mm² zmniejsza naprężenie z 200 do 100 MPa.
To obliczenie opisuje przekrój nominalny. Nie uwzględnia lokalnego wzrostu naprężeń przy otworach, gwintach, nagłych zmianach przekroju ani innych karbach. Jeżeli pręt ma przekrój prostokątny, pole oblicza się jako iloczyn szerokości i grubości; jeśli przekrój jest kołowy, potrzebna jest jego rzeczywista powierzchnia.
Odkształcenie i wydłużenie pręta
W zakresie liniowo-sprężystym obowiązuje prawo Hooke’a:
σ = E·ε
Po przekształceniu odkształcenie względne wynosi:
ε = σ/E
Dla naprężenia σ = 200 MPa i modułu E = 210 000 MPa:
ε = 200/210 000 = 0,000952
Odkształcenie ε nie ma jednostki. Informuje, jaka część początkowej długości została przyrostowo wydłużona. Aby obliczyć wydłużenie pręta, należy pomnożyć ε przez długość początkową:
ΔL = ε·L
Przy L = 1000 mm:
ΔL = 0,000952·1000 = 0,952 mm
Równoważny wzór, przydatny przy bezpośrednim podstawianiu danych, ma postać:
ΔL = F·L/(A·E)
Dla F = 20 000 N, L = 1000 mm, A = 100 mm² i E = 210 000 MPa wynik także wynosi 0,952 mm. Wydłużenie zwiększa się wraz z siłą i długością pręta, a maleje wraz ze wzrostem pola przekroju i modułu Younga.
Zapas względem granicy plastyczności
Prosty współczynnik bezpieczeństwa względem uplastycznienia można obliczyć jako:
n = Re/σ
Dla stali S235JR o grubości 5–16 mm przyjęto Re = 235 MPa. Przy naprężeniu σ = 200 MPa:
n = 235/200 = 1,18
Naprężenie 200 MPa pozostaje poniżej granicy plastyczności 235 MPa, lecz prosty zapas jest niewielki. Wartość n = 1 oznaczałaby osiągnięcie granicy plastyczności w przyjętym modelu. Dla porównania, przy σ = 100 MPa współczynnik wynosi 2,35, natomiast przy σ = 150 MPa wynosi 1,57.
| Wariant | Siła F [kN] | Pole A [mm²] | Długość L [mm] | Moduł E [MPa] | Naprężenie σ [MPa] | Odkształcenie ε [-] | Wydłużenie ΔL [mm] | Współczynnik bezpieczeństwa n = 235/σ [-] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 100 | 1000 | 210 000 | 100 | 0,000476 | 0,476 | 2,35 |
| 2 | 15 | 100 | 1000 | 210 000 | 150 | 0,000714 | 0,714 | 1,57 |
| 3 | 20 | 100 | 1000 | 210 000 | 200 | 0,000952 | 0,952 | 1,18 |
| 4 | 20 | 200 | 1000 | 210 000 | 100 | 0,000476 | 0,476 | 2,35 |
Obliczenia dotyczą pręta o stałym przekroju ze stali S235JR o grubości 5–16 mm, dla której przyjęto Re = 235 MPa. Pominięto ciężar własny, koncentrację naprężeń, otwory, gwinty, wpływ temperatury i wyboczenie. Współczynnik n jest prostym zapasem względem uplastycznienia, a nie pełnym współczynnikiem projektowym według normy.
Wynik nie zastępuje projektu konstrukcyjnego: elementy przenoszące obciążenia powinny być sprawdzone według właściwych norm, z uwzględnieniem współczynników częściowych, połączeń, karbów, zmęczenia i stateczności.
Zakres stosowalności prawa Hooke’a
Prawo Hooke’a można stosować tak długo, jak naprężenie pozostaje poniżej granicy plastyczności Re i nie występują istotne nieliniowości. Dla przykładu S235JR oznacza to pracę poniżej 235 MPa przy grubości 5–16 mm. W tym zakresie zależność między naprężeniem a odkształceniem jest liniowa.
Po przekroczeniu Re wzór ΔL = F·L/(A·E) nie opisuje już całkowitego wydłużenia, ponieważ pojawia się odkształcenie plastyczne. Do dokładniejszej oceny potrzebna jest charakterystyka materiału poza zakresem sprężystym. Model wymaga również ostrożności przy dużych odkształceniach, lokalnych karbach, gwintach, kontakcie oraz utracie stateczności.
Wyboczenie wymaga osobnego sprawdzenia w odpowiednich przypadkach; nie jest uwzględniane przez sam wzór σ = F/A. Sama wartość σ = F/A nie sprawdza stateczności, połączeń ani zmęczenia. Dla pręta rzeczywistego trzeba zatem rozdzielić obliczenie naprężenia nominalnego od pełnego sprawdzenia konstrukcyjnego.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć naprężenie w rozciąganym pręcie?
Podziel siłę osiową przez pole przekroju: σ = F/A. Dla F = 20 kN i A = 100 mm² naprężenie wynosi 200 MPa.
Jak obliczyć wydłużenie pręta?
Dla pręta o stałym przekroju użyj wzoru ΔL = F·L/(A·E), równoważnego zależności ΔL = ε·L. Trzeba zachować spójne jednostki, na przykład N, mm², mm i MPa.
Kiedy można zastosować prawo Hooke’a?
Gdy materiał pracuje w zakresie liniowo-sprężystym, czyli przed osiągnięciem granicy plastyczności, a pręt ma stały przekrój i jest obciążony osiowo. Przy karbach, gwintach, dużych odkształceniach, kontakcie lub wyboczeniu potrzebny jest dokładniejszy model.
Źródła
- S235JR EN 10025-2 — właściwości mechaniczne i chemiczne — ArcelorMittal, 2026, Katalog H30, S235JR EN 10025-2
- Guidance notes on best practice in steel bridge construction, GN301R3 — Steel Construction Institute, 2015, SCI P185, s. 3.01/3
- S235JR | 1.0038 — properties according to DIN EN 10025-2 — thyssenkrupp Materials Processing Europe, 2026, S235JR, 1.0038
Tekst został utworzony przy pomocy sztucznej inteligencji (modeli językowych).
