Wał skręcany: obliczenie naprężenia i kąta skręcenia
Dla kołowego wału w zakresie sprężystym maksymalne naprężenie styczne oblicza się ze wzoru τmax = T·r/J, a kąt skręcenia wału z φ = T·L/(G·J). W przykładzie ze stali S355 wał pełny o średnicy 40 mm przenosi moment skręcający 1,00 kN·m przy naprężeniu 79,6 MPa, natomiast drążony osiąga 116,4 MPa.
Założenia i dane wejściowe
Rozpatrywany jest idealny, kołowy i pryzmatyczny wał o stałym przekroju. Przyjęto długość L = 1,00 m oraz moment skręcający T = 1,00 kN·m, czyli 1000 N·m. Porównanie obejmuje dwa warianty o takim samym wymiarze zewnętrznym: wał pełny o średnicy d = 40 mm oraz wał drążony o średnicy zewnętrznej do = 40 mm i wewnętrznej di = 30 mm.
Materiałem jest stal S355 przy grubości t ≤ 40 mm. Do obliczeń przyjęto moduł Kirchhoffa G = 77 000 MPa, moduł Younga E = 200 000 MPa, współczynnik Poissona ν = 0,3, gęstość ρ = 7 850 kg/m³ oraz granicę plastyczności fy = 355 MPa. Wzory torsji i zależności dla przekrojów kołowych przedstawia źródło Introductory Solid Mechanics — Torsion z 2024 roku.
Przed podstawieniem do wzorów trzeba ujednolicić jednostki. Średnica 40 mm odpowiada 0,040 m, średnica 30 mm — 0,030 m, a moduł Kirchhoffa 77 000 MPa — 77 000 000 000 Pa. Dzięki temu moment w N·m, długość w m i biegunowy moment bezwładności w m⁴ tworzą spójny układ jednostek.
Wzory dla wału pełnego i drążonego
Naprężenie styczne wału nie ma takiej samej wartości w każdym punkcie przekroju. Dla odległości ρ od osi obowiązuje zależność τ = T·ρ/J. Największe naprężenie występuje na powierzchni, gdzie ρ = r, dlatego do sprawdzenia przyjmuje się τmax = T·r/J.
Dla wału pełnego biegunowy moment bezwładności wynosi Jp = π·d⁴/32. Dla wału drążonego stosuje się Jd = π·(do⁴ − di⁴)/32. Czwarta potęga średnicy powoduje, że nawet zmiana wymiaru przekroju o kilka milimetrów wyraźnie wpływa na nośność i sztywność skrętną.
Kąt skręcenia wału przy stałym momencie, stałym przekroju i jednorodnym materiale oblicza się z φ = T·L/(G·J). Wynik φ otrzymuje się w radianach. Na stopnie przelicza się go przez pomnożenie przez 180/π. Widać, że większy J zmniejsza zarówno naprężenie τmax, jak i kąt φ.
Obliczenie naprężenia stycznego
Dla wału pełnego o średnicy 40 mm podstawienie do wzoru na biegunowy moment bezwładności daje Jp = 2,513·10⁻⁷ m⁴. Promień zewnętrzny wynosi 0,020 m, więc maksymalne naprężenie styczne wału jest równe τmax = 1000 N·m · 0,020 m / 2,513·10⁻⁷ m⁴ = 79,6 MPa.
W wale drążonym średnica zewnętrzna pozostaje równa 40 mm, lecz otwór ma 30 mm. Zależność Jd = π·(do⁴ − di⁴)/32 prowadzi do wartości Jd = 1,718·10⁻⁷ m⁴. Przy tym samym promieniu zewnętrznym 0,020 m otrzymujemy τmax = 116,4 MPa.
Różnica wynika z mniejszego biegunowego momentu bezwładności J wału drążonego. Przy identycznym T = 1,00 kN·m naprężenie w wale drążonym jest większe o około 46% niż w wale pełnym. Orientacyjne odniesienie do fy = 355 MPa daje τmax/fy = 0,224 dla wału pełnego oraz 0,328 dla drążonego. Nie zastępuje to pełnego sprawdzenia konstrukcji.
Obliczenie kąta skręcenia
Dla wału pełnego używamy wartości Jp = 2,513·10⁻⁷ m⁴, T = 1000 N·m, L = 1,00 m oraz G = 77 000 MPa. Z równania φ = T·L/(G·J) otrzymujemy φ = 0,0517 rad. Po przeliczeniu jest to 2,96°.
W wale drążonym J spada do 1,718·10⁻⁷ m⁴. Przy niezmienionych T, L i G kąt skręcenia wzrasta do φ = 0,0756 rad, czyli 4,33°. Wał drążony skręca się zatem o około 46% bardziej niż pełny o tej samej średnicy zewnętrznej.
W praktyce przy wale stopniowanym nie można użyć jednego iloczynu T·L/(G·J) dla całej długości. Kąt każdego odcinka oblicza się osobno, a następnie sumuje. W analizowanym przykładzie przekrój i materiał są jednak stałe na długości 1,00 m, więc pojedynczy wzór jest wystarczający.
Masa i sztywność przy tym samym gabarycie
Sztywność skrętna odcinka jest opisana przez GJ/L. Dla wału pełnego wynosi 19,35 kN·m/rad, a dla drążonego 13,23 kN·m/rad. Usunięcie materiału z rdzenia zmniejsza więc sztywność o około 31,6%, mimo że zewnętrzny gabaryt obu wałów pozostaje taki sam.
Gęstość stali S355 wynosi 7 850 kg/m³. Przy długości 1,00 m masa odcinka pełnego wału wynosi 9,86 kg, natomiast masa wału drążonego 5,39 kg. Wariant drążony jest lżejszy o około 45,3%, a jego stosunek sztywności do masy wynosi 2,45 kN·m/(rad·kg), wobec 1,96 kN·m/(rad·kg) dla wału pełnego.
Porównanie wału pełnego i drążonego przy tym samym wymiarze zewnętrznym
| Parametr | Wał pełny | Wał drążony | Wniosek |
|---|---|---|---|
| Wymiary przekroju | d = 40 mm | do = 40 mm; di = 30 mm | Ten sam gabaryt zewnętrzny |
| Długość | 1,00 m | 1,00 m | Założenie przykładu |
| Moment skręcający | 1,00 kN·m | 1,00 kN·m | To samo obciążenie |
| Biegunowy moment bezwładności J | 2,513·10⁻⁷ m⁴ | 1,718·10⁻⁷ m⁴ | Wał drążony ma 68,4% J wału pełnego |
| Maksymalne naprężenie styczne τmax | 79,6 MPa | 116,4 MPa | W drążonym większe o około 46% |
| Kąt skręcenia φ | 0,0517 rad = 2,96° | 0,0756 rad = 4,33° | Drążony skręca się o około 46% bardziej |
| Sztywność skrętna GJ/L | 19,35 kN·m/rad | 13,23 kN·m/rad | Drążony ma około 31,6% mniejszą sztywność |
| Masa odcinka 1 m | 9,86 kg | 5,39 kg | Drążony jest lżejszy o około 45,3% |
| Stosunek sztywności do masy | 1,96 kN·m/(rad·kg) | 2,45 kN·m/(rad·kg) | Drążony efektywniej wykorzystuje materiał |
| Sprawdzenie względem fy = 355 MPa | τmax/fy = 0,224 | τmax/fy = 0,328 | Wskaźnik orientacyjny; nie zastępuje pełnego sprawdzenia konstrukcji |
Obliczenia dotyczą idealnego, kołowego, jednorodnego i pryzmatycznego wału w zakresie liniowo-sprężystym, bez wpustów, karbów, połączeń i koncentracji naprężeń. Masa obejmuje wyłącznie odcinek długości 1,00 m.
Interpretacja wyniku
Wał drążony nie jest automatycznie sztywniejszy od pełnego tylko dlatego, że ma większą średnicę materiału położonego dalej od osi. Przy tym samym wymiarze zewnętrznym i z tego samego materiału jego J wynosi 68,4% wartości dla wału pełnego, dlatego spada również GJ/L. W rozpatrywanym przypadku oznacza to 13,23 kN·m/rad zamiast 19,35 kN·m/rad.
Korzyścią drążenia jest masa: 5,39 kg zamiast 9,86 kg dla odcinka o długości 1,00 m. Jednocześnie trzeba zaakceptować naprężenie 116,4 MPa zamiast 79,6 MPa oraz kąt 4,33° zamiast 2,96°. Wał drążony efektywniej wykorzystuje materiał, co pokazuje wyższy stosunek sztywności do masy: 2,45 kN·m/(rad·kg) wobec 1,96 kN·m/(rad·kg).
Obliczenia dotyczą wstępnej oceny idealnego wału; projekt rzeczywisty wymaga uwzględnienia karbów, wpustów, zmęczenia, wyboczenia, połączeń i odpowiednich współczynników bezpieczeństwa, a dobór oraz odbiór elementu konstrukcyjnego powinien wykonać uprawniony projektant. Zagadnienia związane z sworzniem na ścinanie oraz prętem rozciąganym dotyczą innych schematów obciążenia.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć naprężenie skręcające wału?
Dla kołowego wału w zakresie sprężystym użyj τmax = T·r/J. Dla wału pełnego J = π·d⁴/32, a dla drążonego J = π·(do⁴ − di⁴)/32. Moment T należy podać w N·m, wymiary w metrach, a wynik otrzymasz w paskalach.
Jak obliczyć kąt skręcenia wału?
Dla stałego przekroju i stałego momentu stosuje się φ = T·L/(G·J). Wynik jest w radianach; stopnie otrzymasz przez pomnożenie przez 180/π. Dla wału stopniowanego należy zsumować kąty poszczególnych odcinków.
Czy wał drążony jest sztywniejszy od pełnego?
Nie przy tym samym wymiarze zewnętrznym i z tego samego materiału. Usunięcie materiału zmniejsza J oraz GJ/L, ale wał drążony może mieć lepszy stosunek sztywności lub nośności do masy, ponieważ materiał blisko osi ma mały udział w przenoszeniu momentu skręcającego.
Źródła
- Introductory Solid Mechanics — Torsion — University of Illinois Urbana-Champaign, 2024, wzory τ = Tρ/J, J dla przekroju pełnego i drążonego, φ = TL/GJ.
- Torsion — OPTI 222 Mechanical Design in Optical Engineering — University of Arizona, 2016, wzory torsji i ograniczenia stosowania; wały drążone.
- Steel — EN 10025 (Europe) — BeamLib, 2024, tabela właściwości S355 według EN 10025-2 i EN 1993-1-1, t ≤ 40 mm.
Tekst został utworzony przy pomocy sztucznej inteligencji (modeli językowych).
